It is also a useful tool for proving other theorems in number theory. Fermat’s Little Theorem is used in cryptography in several ways. One of the most common applications is in the generation of so-called “public-key” cryptography systems, which are used to securely transmit messages over the internet and other networks. One way to generate these keys is to use prime numbers and Fermat’s Little Theorem. For example, suppose we want to generate a public-key cryptography system for a user with the initials “ABC”. We might choose two large prime numbers, p p p and q q q , and then compute the product n = p q n = pq n = pq . To encrypt a message with the user’s public key ( n , a ) (n, a) ( n , a ) , we first convert the message into a number m m m (using some agreed-upon scheme), and then compute the encrypted message c c c as c = m a m o d n c = m^a \bmod n c = m a mod n . To decrypt the message, the recipient simply computes m = c b m o d n m = c^b \bmod n m = c b mod n , which (by Fermat’s Little Theorem) is equivalent to m = ( m a ) b m o d n = m ( a b ) m o d n = m 1 m o d n = m m o d n m = (m^a)^b \bmod n = m^(ab) \bmod n = m^1 \bmod n = m \bmod n m = ( m a ) b mod n = m ( ab ) mod n = m 1 mod n = m mod n .
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