(Volume do tetraedro $= 1/6$ volume do paralelepipedo). A altura do tetraedro $ABCD$. Dica: Os itens 5 e 6 requerem produto vetorial. O erro impedia que os jogadores recebessem suas recompensas pixbeta apos a primeira partida jogada. Determine a equacao do plano $\pi_1$ que passa por $A = (10, 1,-1)$, $B = (1, 9,-1) \text C = (1,-1, 5)$. Determine a equacao do plano $\pi_2$ que passa por $D = (-1, 4,-1)$, $E = (3,-1, 10)$ e e paralelo ao eixo $z$. Escreva as equacoes parametricas para a reta $r$, intersecao dos planos $\pi_1$ e $\pi_2$. Qual o angulo entre os planos $\pi_1$ e $\pi_2$? Qual o ponto $P$ de $\pi_1$ que esta mais proximo da origem? (Sugestao: este ponto e tal que $\overrightarrow$ e ortogonal ao plano $\pi_1$.) Considere a reta $r$ de equacao \[ \frac\ =\ y-2\ =\ \frac \] e considere o plano $\pi $ de equacao $2x+y+z=-2$.
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De outra forma, podemos deduzir (como?) que $v_1=(2,1,0)$ e $v_2=(-3,0,1)$ formam um par gerador para $\pi$ e que o vetor diretor da reta $r$ pode ser escrito como combinacao deste par. Ou seja, se escalonarmos a matriz cujas linhas sao estes tres vetores, entao obteremos uma linha nula na forma escalonada reduzida. Considere o plano $\pi : ax + by + cz = 0$. Encontre as coordenadas: da projecao ortogonal do vetor $(x,y,z)$ sobre o plano $\pi$; da reflexao do vetor $(x,y,z)$ em relacao ao plano $\pi$. Encontre a equacao da reta simetrica a reta $r$ em relacao ao plano $\pi$: Dados o plano $x-y+z=1$ e o ponto $P=(1,0,1)$, encontre o ponto $Q$ que e simetrico a $P$ em relacao ao plano dado. Considere as retas $r=\ $ e $s:\frac=y=z$. Nossa aposta.
Considere $s$ a reta $(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,2,1).$ Verifique se as retas $r$ e $s$ sao paralelas, reversas ou concorrentes. Ache, se possivel, uma equacao geral do plano que contem as retas $r$ e $s$. Calcule a distancia entre as retas $r$ e $s$. Considere as retas $r$ e $r^ $ dadas por: Mostre que $r$ e $r^ $ sao reversas. Encontre dois planos paralelos $\pi$ e $\alpha$ tais que $r\subset \pi$ e $r^ \subset \alpha$. Pergunta: Podem existir outros planos com as propriedades de $\pi$ e $\alpha$? Encontre a distancia entre os planos $\pi$ e $\alpha$ do item anterior. Encontre $P$ em $r$ e $Q$ em $r^ $ tais que a reta que passa por $P$ e $Q$ seja perpendicular a $r$ e $r^ $.
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