Das geometrische Problem der Dreiteilung des Winkels, das seit dem 5. Jahrhundert v. Chr. bekannt ist, kann daher nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden. Eine präeuklidische Ebene ist in der synthetischen Geometrie eine affine Ebene K 2 > über einem Körper K , dessen Charakteristik nicht 2 ist, zusammen mit einer Orthogonalitätsrelation ohne isotrope Geraden ⊥ zwischen den Geraden der Ebene. In einer solchen Ebene können (senkrechte) Achsenspiegelungen definiert werden (siehe Spiegelung (Geometrie) – Achsenspiegelung). Zu zwei Geraden a , b existiert eine Gerade w , so dass bei der Achsenspiegelung an w die Gerade a auf die Gerade b abgebildet wird. Eine präeuklidische Ebene, die das Axiom für Winkelhalbierende erfüllt, wird als frei bewegliche Ebene bezeichnet.
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